偶数と奇数に場合分けするためですね。

どういった過程でこのようや変形になるのでしょうか？

偶数、奇数のことは大丈夫なのですが、変形そのものがどうしてこうなるのか分からないんです…。

nが偶数であれば2mに、nが奇数であれば2m+1に変形します。