2k+1で証明できないため、1は例外として場合分けの一つになります。

1が例外として場合分けが必要になる時とはどのような時ですか？

まずは、奇数・偶数で場合分けをして証明を行い、1が奇数の証明だけでは証明しきれていないことが分かった時点で1を例外とすればよいと思います。

それは慣れればわかるようになりますか？

慣れればできるようになります。
多少、テクニカルになりますが、偶数・奇数の証明までできていれば、配点の8割はもらえると思います。