ちょっと見慣れない解法ですね。

x=-2,3でx²+x+1 = mx+n が成り立つ。
x²+x+1 = mx+n ⇒ x²+(m-1)x+(1-n)=0

x²+(m-1)x+(1-n)=0
xに-2,3を代入して、mとnを導き出すのがやりやすいと思います。

もしくは、x²+(m-1)x+(1-n) = (x+2)(x-3)からmとnを導くかですね。