x² - (a+3)x +3a = (x - 3)(x - a) < 0
①x-3 >0 かつ x-a <0 → x > 3 かつ x < a
②x-3 <0 かつ x-a >0 → x < 3 かつ x > a

①を満たし、かつ整数xが2この場合、xは4,5である。よって、5<a<6
②を満たし、かつ整数xが2この場合、xは1,2である。よって、1<a<2

以上より、1<a<2、5<a<6である。