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なぜ、
x＜-1のときと
-1≦x＜1のときと
1≦xのときに場合分けをするんですか？
解答には「場合の分かれ目」と書いてあるのですが、どういうことなのでしょうか？

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絶対値の中が、正の数になるか、負の数になるかで分かれます。

なるほど。

(それぞれの解答の右側の方を見ましたが…)
要するに、
1つ目の場合分け
x+1＜0, x-1＜0 は、それぞれ
a＜0のとき |a|＝-a により場合分けをして
絶対値記号をはずし、

2つ目の場合分け
x+1≧0, x-1＜0は
x+1≧0は、a≧0のとき|a|＝a、
そしてx-1＜0は、a＜0のとき |a|＝-aにより
場合分けをして絶対値記号をはずし、

3つ目の場合分け
x+1＞0, x-1≧0は
x+1＞0は a≧0のとき|a|＝aによりはずし、
x-1≧0も、a≧0のとき|a|＝aによりはずした、
ということでよろしかったでしょうか。

また、主に3番目についてなのですが、イコールをつけて絶対値をはずすときと、イコールをつけないで絶対値をはずすのには違いはあるのでしょうか？
説明が分かりにくくてすみません。

はい、その考え方であっています。
イコールについては、絶対値の数値が0になるので、どちらに入っていても差はないです。

ありがとうございます！