ab+1 > a+bは、以下のように式が変換できます。
ab+1-a-b > 0
(a-1)(b-1) > 0

a・bともに1より大きい、もしくはa・bともに1より小さい場合、ab+1 > a+bが成り立つということになります。

|a| < 1 AND |b| < 1　ならば必ず、 ab+1 > a+bが成り立ちます。(十分条件である)
ab+1 > a+b　の場合、|a| < 1 AND |b| < 1　とは限らない。(必要条件でない)
ということなります。

十分条件になる意味をもっと詳しく教えてください

AならばBになるというとき、AはBであるための十分条件となります。
|a| < 1 AND |b| < 1　ならば、 ab+1 > a+bであることが証明できたので、十分条件となります。